This junior/senior level text is devoted to a study of first-order logic and its role in the foundations of mathematics: What is a proof? How can a proof be justified? To what extent can a proof be made a purely mechanical procedure? How much faith can we have in a proof that is so complex that no one can follow it through in a lifetime? The first substantial answers to these questions have only been obtained in this century. The most striking results are contained in Goedells work: First, it is possible to give a simple set of rules that suffice to carry out all mathematical proofs; but, second, these rules are necessarily incomplete - it is impossible, for example, to prove all true statements of arithmetic. The book begins with an introduction to first-order logic, Goedel's theorem, and model theory. A second part covers extensions of first-order logic and limitations of the formal methods. The book covers several advanced topics, not commonly treated in introductory texts, such as Trachtenbrot's undecidability theorem. Fraisse's elementary equivalence, and Lindstroem's theorem on the maximality of first-order logic.

Mathematical Logic: Undergraduate Texts in Mathematics

Science & Math

W.], Thomas

Ebbinghaus, H.D.

J. Flum

Mathematics

Springer, Verlag

This introduction to first-order logic clearly works out the role of first-order logic in the foundations of mathematics, particularly the two basic questions of the range of the axiomatic method and of theorem-proving by machines. It covers several advanced topics not commonly treated in introductory texts, such as Fraïssé's characterization of elementary equivalence, Lindström's theorem on the maximality of first-order logic, and the fundamentals of logic programming.

Mathematical Logic, 2nd Edition (Undergraduate Texts in Mathematics)

Thomas, Wolfgang

Flum, J.

Springer

This careful, self-contained introduction to first-order logic includes an exposition of certain topics not usually found in introductory texts (such as Trachtenbrot's undecidability theorem, Fraisse's characterization of elementary equivalence, and Lindström's theorem on the maximality of first-order logic). The presentation is detailed and systematic without being long-winded or tedious. The role of first-order logic in the foundations of mathematics is worked out clearly, particularly the two basic questions of the range of the axiomatic method and of theorem-proving by machines. Many exercises accompany the text.

Mathematical Logic (Undergraduate Texts in Mathematics)

Thomas, W.

Fourteen papers presented at the 1987 European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic are collected in this volume. The main areas covered by the conference were Logic, Set Theory, Recursion Theory, Model Theory, Logic for Computer Science and Semantics of Natural Languages.

Logic Colloquium '87: Proceedings of the Colloquium Held in Granada, Spain July 20-25, 1987 (LOGIC COLLOQUIM// PROCEEDINGS)

Reference

Fernandez-Prida, J.

Garrido, M.

Catalogs & Directories

North-Holland

Turing-Maschinen und berechenbare Funktionen I: Präzisierung von Algorithmen.- § 1. Naive Vorbetrachtungen.- 1. Algorithmen in der Mathematik. Geschichtliches.- 2. Unmöglichkeitsbeweise. Churchsche These.- 3. Alphabete und Wortmengen.- 4. Eine intuitive Analyse des Algorithmenbegriffs.- 5. Berechenbare Funktionen.- 6. Entscheidbarkeit.- § 2. Motivierung und Definition von Turing-Maschinen.- 1. Intuitive Normierung von Algorithmen.- 2. Turing-Maschinen.- 3. Turing-berechenbare Funktionen.- Turing-Maschinen und berechenbare Funktionen II.- § 3. Beispiele für Turing-Maschinen. Turing-Diagramme.- 1. Die Elementarmaschinen.- 2. Weitere Maschinen.- 3. Motivationen für Turing-Diagramme.- 4. Definition der Turing-Diagramme.- 5. Erklärung der Arbeitsweise einer durch ein Diagramm gegebenen Maschine T.- 6. Beispiele für Turing-Diagramme. Weitere Vereinfachungen.- 7. Konstruktion von Tafeln aus Diagrammen.- 8. Weitere Beispiele von Turing-Maschinen.- 9. Nachweis der Turing-Berechenbarkeit einiger spezieller Funktionen.- 10. Darstellung einer Turing-Maschine durch ein aus den Elementarmaschinen zusammengesetztes Diagramm.- § 4. Normierte Turing-Berechenbarkeit.- 1. Die Maschine T§.- 2. Simulierung über dem Alphabet {{|}}.- 3. Normierte Turing-Berechnung.- 4. Eine Verschlüsselmaschine für n-Tupel.- 5. Eine Entschlüsselmaschine.- 6. Einsetzung Turing-berechenbarer Funktionen.- § 5. Einfache Beispiele unentscheidbarer Mengen.- 1. Maschinenwörter.- 2. Eine unentscheidbare Menge.- 3. Weitere unentscheidbare Mengen.- Turing-Maschinen und berechenbare Funktionen III.- § 6. Eine universelle Turing-Maschine und das Aufzählungstheorem von Kleene.- 1. Die universelle Turing-Maschine U.- 2. Das Kleenesche Aufzählungstheorem für Turingberechenbare Funktionen.- 3. Das Halteproblem für U.- Literatur I-III.- Aufzählbarkeit.- §1. Einleitung.- 1. Der intuitive Begriff der Aufzählbarkeit. Inhaltsübersicht.- 2. Historische Bemerkungen.- § 2. Naive Sätze über aufzählbare Mengen.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Die Zurückführung des Berechenbarkeitsbegriffs auf den Aufzählbarkeitsbegriff.- 3. Die Zurückführung des Aufzählbarkeitsbegriffs auf den Berechenbarkeitsbegriff.- 4. Aufzählbarkeit und Entscheidbarkeit.- § 3. Turing-Aufzählbarkeit.- 1. Definition und Charakterisierungen Turing-aufzählbarer Mengen.- 2. Abgeschlossenheitseigenschaften Turing-aufzählbarer Mengen.- 3. Das Aufzählungstheorem.- 4. Nicht Turing-aufzählbare Mengen.- §4. Smullyan-Aufzählbarkeit.- 1. Erzeugung von Mengen durch Kalküle.- 2. Smullyansche formale Systeme.- 3. Reduktion auf Wortmengen.- 4. Spezielle Smullyan-Systeme.- § 5. Smullyan- und Turing-Aufzählbarkeit.- 1. Die Smullyan-Aufzählbarkeit der Turing-aufzählbaren Mengen.- 2. Die Turing-Aufzählbarkeit der Smullyan-aufzählbaren Mengen.- 3. Ein unentscheidbares Smullyan-System.- 4. Abschließende Bemerkungen.- § 6. Die Nichtaufzählbarkeit der wahren arithmetischen Aussagen und die Unentscheidbarkeit der Arithmetik.- 1. Arithmetische Ausdrücke und Aussagen.- 2. Deutungen. Arithmetische Prädikate.- 3. Eine Übersicht.- 4. Einfache arithmetische Relationen und Paarfunktionen.- 5. Verschlüsselung von endlichen Folgen natürlicher Zahlen.- 6. Die Arithmetisierung von '.- 7. Anhang. Das Gödel-Prädikat. Das Schema F*(?l, ?2, ?3)..- Literatur.- Entscheidungsproblem und Dominospiele.- § 1. Zum Entscheidungsproblem der Prädikatenlogik. Teil 1..- § 2. Ausdrücke, Präfixe, Präfixtypen. Durch solche Typen bestimmte Ausdrucksklassen.- § 3. Erfüllbarkeit von Ausdrücken.- § 4. Zum Entscheidungsproblem der Prädikatenlogik. Teil 2..- § 5. Dominoprobleme.- § 6. Die Definition des einer Turing-Tafel zugeordneten Eck-Dominospiels $${{D_{{{{T^{{,\;}}}}}}}}D_T^0$$.- § 7. Lemma: Wenn M(T) angesetzt auf das leere Band, unendlich lange läuft, ist das Eck-Dominospiel $${{D_{{{{T^{{,\;}}}}}}}}D_T^0$$ gut.- § 8. Lemma: Wenn das Eck-Dominospiel $${{D_{{{{T^{{,\;}}}}}}}}D_T^0$$ gut ist, läuft M(T), angesetzt auf das leere Band, unendlich lange.- § 9. Die Definition des einem Eck-Dominospiel $$D,\;{{D^0}}$$ zugeordneten Ausdrucks $${{\alpha _{{D,\;{{D^0}}}}}}$$.- § 10. Lemma: Wenn das Eck-Dominospiel $$D,\;{{D^0}}$$ gut ist, dann ist $${{\alpha _{{D,\;{{D^0}}}}}}$$ erfüllbar.- § 11. Lemma: Das Eck-Dominospiel $$D,\;{{D^0}}$$ ist gut, wenn $${{\alpha _{{D,\;{{D^0}}}}}}$$ erfüllbar ist.- § 12. Übergang zur engeren Prädikatenlogik.- § 13. Ausblick auf die Ausdrucksklasse ? ? ? und das Diagonal-Dominoproblem.- Literatur.- Turing-Maschinen und zufällige 0-1-Folgen.- § 1. Die Kolmogorovsche Komplexität endlicher 0-1-Wörter.- § 2. Ein gescheiterter Versuch.- § 3. Der Raum der unendlichen 0-1-Folgen.- § 4. Zufällige unendliche 0-1-Folgen.- Literatur.- Namenverzeichnis.- Symbolverzeichnis.

Selecta Mathematica II (Heidelberger Taschenbücher, 67) (German Edition)

Hermes, Hans

Jacobs, Konrad

Mahn, F.K.

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