This book grew out of lectures. It is intended as an introduction to classical two-valued predicate logic. The restriction to classical logic is not meant to imply that this logic is intrinsically better than other, non-classical logics; however, classical logic is a good introduction to logic because of its simplicity, and a good basis for applications because it is the foundation of classical mathematics, and thus of the exact sciences which are based on it. The book is meant primarily for mathematics students who are already acquainted with some of the fundamental concepts of mathematics, such as that of a group. It should help the reader to see for himself the advantages of a formalisation. The step from the everyday language to a formalised language, which usually creates difficulties, is dis cussed and practised thoroughly. The analysis of the way in which basic mathematical structures are approached in mathematics leads in a natural way to the semantic notion of consequence. One of the substantial achievements of modern logic has been to show that the notion of consequence can be replaced by a provably equivalent notion of derivability which is defined by means of a calculus. Today we know of many calculi which have this property.

Introduction to mathematical logic (Universitext)

Science & Math

Hermes, Hans

Mathematics

Springer, Verlag

<p>Turing-Maschinen und berechenbare Funktionen I: Präzisierung von Algorithmen.- § 1. Naive Vorbetrachtungen.- 1. Algorithmen in der Mathematik. Geschichtliches.- 2. Unmöglichkeitsbeweise. Churchsche These.- 3. Alphabete und Wortmengen.- 4. Eine intuitive Analyse des Algorithmenbegriffs.- 5. Berechenbare Funktionen.- 6. Entscheidbarkeit.- § 2. Motivierung und Definition von Turing-Maschinen.- 1. Intuitive Normierung von Algorithmen.- 2. Turing-Maschinen.- 3. Turing-berechenbare Funktionen.- Turing-Maschinen und berechenbare Funktionen II.- § 3. Beispiele für Turing-Maschinen. Turing-Diagramme.- 1. Die Elementarmaschinen.- 2. Weitere Maschinen.- 3. Motivationen für Turing-Diagramme.- 4. Definition der Turing-Diagramme.- 5. Erklärung der Arbeitsweise einer durch ein Diagramm gegebenen Maschine T.- 6. Beispiele für Turing-Diagramme. Weitere Vereinfachungen.- 7. Konstruktion von Tafeln aus Diagrammen.- 8. Weitere Beispiele von Turing-Maschinen.- 9. Nachweis der Turing-Berechenbarkeit einiger spezieller Funktionen.- 10. Darstellung einer Turing-Maschine durch ein aus den Elementarmaschinen zusammengesetztes Diagramm.- § 4. Normierte Turing-Berechenbarkeit.- 1. Die Maschine T§.- 2. Simulierung über dem Alphabet {{|}}.- 3. Normierte Turing-Berechnung.- 4. Eine Verschlüsselmaschine für n-Tupel.- 5. Eine Entschlüsselmaschine.- 6. Einsetzung Turing-berechenbarer Funktionen.- § 5. Einfache Beispiele unentscheidbarer Mengen.- 1. Maschinenwörter.- 2. Eine unentscheidbare Menge.- 3. Weitere unentscheidbare Mengen.- Turing-Maschinen und berechenbare Funktionen III.- § 6. Eine universelle Turing-Maschine und das Aufzählungstheorem von Kleene.- 1. Die universelle Turing-Maschine U.- 2. Das Kleenesche Aufzählungstheorem für Turingberechenbare Funktionen.- 3. Das Halteproblem für U.- Literatur I-III.- Aufzählbarkeit.- §1. Einleitung.- 1. Der intuitive Begriff der Aufzählbarkeit. Inhaltsübersicht.- 2. Historische Bemerkungen.- § 2. Naive Sätze über aufzählbare Mengen.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Die Zurückführung des Berechenbarkeitsbegriffs auf den Aufzählbarkeitsbegriff.- 3. Die Zurückführung des Aufzählbarkeitsbegriffs auf den Berechenbarkeitsbegriff.- 4. Aufzählbarkeit und Entscheidbarkeit.- § 3. Turing-Aufzählbarkeit.- 1. Definition und Charakterisierungen Turing-aufzählbarer Mengen.- 2. Abgeschlossenheitseigenschaften Turing-aufzählbarer Mengen.- 3. Das Aufzählungstheorem.- 4. Nicht Turing-aufzählbare Mengen.- §4. Smullyan-Aufzählbarkeit.- 1. Erzeugung von Mengen durch Kalküle.- 2. Smullyansche formale Systeme.- 3. Reduktion auf Wortmengen.- 4. Spezielle Smullyan-Systeme.- § 5. Smullyan- und Turing-Aufzählbarkeit.- 1. Die Smullyan-Aufzählbarkeit der Turing-aufzählbaren Mengen.- 2. Die Turing-Aufzählbarkeit der Smullyan-aufzählbaren Mengen.- 3. Ein unentscheidbares Smullyan-System.- 4. Abschließende Bemerkungen.- § 6. Die Nichtaufzählbarkeit der wahren arithmetischen Aussagen und die Unentscheidbarkeit der Arithmetik.- 1. Arithmetische Ausdrücke und Aussagen.- 2. Deutungen. Arithmetische Prädikate.- 3. Eine Übersicht.- 4. Einfache arithmetische Relationen und Paarfunktionen.- 5. Verschlüsselung von endlichen Folgen natürlicher Zahlen.- 6. Die Arithmetisierung von '.- 7. Anhang. Das Gödel-Prädikat. Das Schema F*(?l, ?2, ?3)..- Literatur.- Entscheidungsproblem und Dominospiele.- § 1. Zum Entscheidungsproblem der Prädikatenlogik. Teil 1..- § 2. Ausdrücke, Präfixe, Präfixtypen. Durch solche Typen bestimmte Ausdrucksklassen.- § 3. Erfüllbarkeit von Ausdrücken.- § 4. Zum Entscheidungsproblem der Prädikatenlogik. Teil 2..- § 5. Dominoprobleme.- § 6. Die Definition des einer Turing-Tafel zugeordneten Eck-Dominospiels $${{D_{{{{T^{{,\;}}}}}}}}D_T^0$$.- § 7. Lemma: Wenn M(T) angesetzt auf das leere Band, unendlich lange läuft, ist das Eck-Dominospiel $${{D_{{{{T^{{,\;}}}}}}}}D_T^0$$ gut.- § 8. Lemma: Wenn das Eck-Dominospiel $${{D_{{{{T^{{,\;}}}}}}}}D_T^0$$ gut ist, läuft M(T), angesetzt auf das leere Band, unendlich lange.- § 9. Die Definition des einem Eck-Dominospiel $$D,\;{{D^0}}$$ zugeordneten Ausdrucks $${{\alpha _{{D,\;{{D^0}}}}}}$$.- § 10. Lemma: Wenn das Eck-Dominospiel $$D,\;{{D^0}}$$ gut ist, dann ist $${{\alpha _{{D,\;{{D^0}}}}}}$$ erfüllbar.- § 11. Lemma: Das Eck-Dominospiel $$D,\;{{D^0}}$$ ist gut, wenn $${{\alpha _{{D,\;{{D^0}}}}}}$$ erfüllbar ist.- § 12. Übergang zur engeren Prädikatenlogik.- § 13. Ausblick auf die Ausdrucksklasse ? ? ? und das Diagonal-Dominoproblem.- Literatur.- Turing-Maschinen und zufällige 0-1-Folgen.- § 1. Die Kolmogorovsche Komplexität endlicher 0-1-Wörter.- § 2. Ein gescheiterter Versuch.- § 3. Der Raum der unendlichen 0-1-Folgen.- § 4. Zufällige unendliche 0-1-Folgen.- Literatur.- Namenverzeichnis.- Symbolverzeichnis.</p>

Selecta Mathematica II (Heidelberger Taschenbücher, 67) (German Edition)

Jacobs, Konrad

Ebbinghaus, H.D.

Mahn, F.K.

Springer

Introduction to Mathematical Logic (Universitext)

Once we have accepted a precise replacement of the concept of algo rithm, it becomes possible to attempt the problem whether there exist well-defined collections of problems which cannot be handled by algo rithms, and if that is the case, to give concrete cases of this kind. Many such investigations were carried out during the last few decades. The undecidability of arithmetic and other mathematical theories was shown, further the unsolvability of the word problem of group theory. Many mathematicians consider these results and the theory on which they are based to be the most characteristic achievements of mathe matics in the first half of the twentieth century. If we grant the legitimacy of the suggested precise replacements of the concept of algorithm and related concepts, then we can say that the mathematicians have shown by strictly mathematical methods that there exist mathematical problems which cannot be dealt with by the methods of calculating mathematics. In view of the important role which mathematics plays today in our conception of the world this fact is of great philosophical interest. Post speaks of a natural law about the "limitations of the mathematicizing power of Homo Sapiens". Here we also find a starting point for the discussion of the question, what the actual creative activity of the mathematician consists in. In this book we shall give an introduction to the theory of algorithms.

Enumerability · Decidability Computability: An Introduction to the Theory of Recursive Functions (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)

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Books by Hermes, Hans